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FFT计算

上一篇 / 下一篇  2014-01-22 15:40:20 / 个人分类:数字信号处理

  

FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如
果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱
提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去
做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT

现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样
定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就
不在此罗嗦了。

采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,
经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算,通常N2的整数次方。

假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT
的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A
N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量
N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个
点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也
可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示
采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率
依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N
由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果
采样频率Fs1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz
1024Hz
的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1
时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时
间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
 
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是
An=
根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,
就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)
,即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)
对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N
   
由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,
即小于采样频率一半的结果。

好了,说了半天,看着公式也晕,下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。

假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz
相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下:

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。
按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个
点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号
3个频率:0Hz50Hz75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、
76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?
我们来看看FFT的结果的模值如图所示.



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